Клаус Генш народився 15 грудня 1938 року в Шпроттау, Сілезія. Після Другої світової війни його сім'я втекла до Фленсбурга.

Він вивчав політологію, історію та соціологію в Кельні, Парижі та Берліні, перш ніж приєднатися до СДПН.

З 1969 по 1970 рік працював на міністра-президента землі Північний Рейн-Вестфалія Хайнца Кюна радником з питань культури в рамках франко-німецького договору. Потім він працював на міністра науки землі Північний Рейн-Вестфалія Йоганнеса Рау, спочатку як прес-секретар, а потім як спеціаліст до 1979 року. З 1976 року він також працював викладачем, а з 1984 року - почесним професором Дуйсбурзького університету.

У 1979 році він став членом Європейського парламенту на 30 років як депутат СДПН і був його президентом з 1994 по 1997 рік.

У цій якості він відвідав столицю землі Гессен 15 листопада 1996 року і взяв участь в урочистому відкритті зони розвитку "Європавертель".

На наступному прийомі в бальному залі ратуші лорд-мер Ахім Екснер віддав належне відданості д-ра Хенша європейській єдності. Політик подякував д-ру Хеншу за його люб'язне запрошення і поставив свій підпис у Золотій книзі міста.